3-1. 고급 선형대수: 선형대수와 해석기학의 기초

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TISTORY

정규직교

만약 N개의 단위벡터 ν₁,  ν₂, ... νn 이 서로 직교하면 정규직교 라고 한다.

 

특징

직교하는 벡터들은 선형 독립이다

 

* 선형 독립의 직교성 증명

linearly independent한 non zero $v_1, v_2,...,v_n$이 있을 때 $c_1 v_1 + ... + c_n v_n= 0$을 만족하기 위해선 오로직 $c_1 = .. =c_n = 0$임을 증명하라. ($v_i^Tv_j=0, ||v_i||<>0$)
아무 벡터 $v_i^T$를 잡아 분배해주면 $v_i^{T}(c_1v_1+ ...c_nv_n)=0$가 성립하고, $v_i^Tv_j=0$ 이기 때문에, $c_i||v_i||^2=0$ 만 남는다.  따라서 $c_i=0$

 

 

투영(Projection)

a벡터와 b벡터의 사이각은 $\theta$

- 투영길이$(hat{x})$ : $||b||cos\theta$ = $\frac{||a||||b||cos\theta}{||a||} = \frac{a^Tb}{||a||}= a^T\frac{b}{||a||}$
즉, 내적한 후 ||a||를 나누면 된다.
* $cos\theta= \frac{x^Ty}{||x||||y||}$

- P(투영 좌표)= '투영성분 길이' x '벡터 a방향의 단위 벡터' = $\frac{a^Tb}{||a||^2}a = \frac{aa^T}{a^Ta}b$

- 직교 벡터: $a^{ㅗb}= a-a^{||b}$ = $a-p$