[선형대수] 벡터공간의 차원과 4가지 부벡터공간

부벡터공간

행렬에는 4가지 부벡터 공간(subspace)이 있다.

- Column Space$(C(A))$

- Null Space$(N(A))$

- Row Space$(C(A^T))$

- Left Null Space$(N(A^T))$

 

subspace들은 서로 dimension을 보완한다.

1. Column space - Left null space: 행 dimension 보완

2. Row space - Null Space: 열 dimension을 보완

 

예를 들어, 3*2행렬이 있다고 생각해보자.

1번 같은 경우 Column space가 1차원 + Left null space 2차원 => 3차원으로 서로 보완한다.

2번도 동일하게 1 + 1차원 => 2차원으로 서로 보완한다.

따라서 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

$A_{m*n}일 때$

-$Dim(C(A) + Dim(N(A^T)) = m(행 차원)$

-$Dim(C(A^T)) +  Dim(N(A)) =n(열 차원)$

 

또한, 각각의 subspace는 직교한다

1. Column space - Left null space: 서로 수직

2. Row space - Null Space: 서로 수직

 

역행렬

이때까지 square matrix의 역행렬만 알아봤다. 다른 경우는 어떨까?

 

1. square matrix

$A^{-1}A = AA^{-1} = I$

 

2. $A_{m*n} , m<n$일 때

$AA^{-1}=I$만 존재하기 때문에 Right inverse라고 한다.

오른쪽만 존재하는 이유는 왼쪽에 inverse가 붙게 되면, m*m크기의 I행렬과 덧붙여서 n*n의 0행렬이 이어지게 된다. 

따라서 깔끔한 I가 생기지 않는다.

https://www.slideshare.net/ahra-cho/07-4-109037077

 

3. $A_{m*n} , m>n$일 때

$A^{-1}A=I$만 존재하기 때문에 Left inverse라고 한다.

https://www.slideshare.net/ahra-cho/07-4-109037077

left inverse가 존재하는 경우 '미지수<방정식' 이기에 유니크한 해가 존재한다. 하지만, 이처럼 여러 개의 방정식이 한 점에 지나가기 매우 어렵기 때문에, left inverse가 존재하는 일은 드물다.

반대로 right inverse인 경우 '미지수> 방정식'이기 때문에 무수히 많은 해가 있다.

 

그렇다면 inverse가 있는지 없는지 어떻게 판별할까? 이는 가우스 소거법으로 확인할 수 있다. 가우스 소거법 후, pivot이 깔끔한 형태로 나란히 나온다면 이는 inverse가 있는 것이다. 만약 A(m> n)인 경우 n*n크기에 대해서만 가우스 소거법을 해주면 된다.

 

 

참고

https://www.youtube.com/watch?v=5-agpUpRZJU&list=PLSN_PltQeOyjDGSghAf92VhdMBeaLZWR3&index=8

https://www.slideshare.net/ahra-cho/07-4-109037077