[선형대수] 벡터의 선형독립과 기저벡터

AX=b에서, null space를 구하는 법

1. [A|b] 행렬에서 가우스 소거법을 이용해 [R|d]로 변환한다. 

$\begin{bmatrix}
 1& 3 &3  &2 \\ 
 2& 6 &  9& 7\\ 
 -1& -3 & 3 &4 
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} u\\  v\\  w\\  z \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} b_1\\  b_2\\  b_3\\  \end{bmatrix}$      =>     $\begin{bmatrix}
 1& 3 &3  &2 \\ 
 0& 0 &  3& 3\\ 
 0& 0 & 0 &0 
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} u\\  v\\  w\\  z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_1\\  b_2-2b_1\\  b_3-2b_2+5b_1\\  \end{bmatrix}$

 

2. $5b_{1}-2b_{2}+b_{3}$=0 으로 잡고, 앞의 방정식에 해당하는 임의의 점을 잡는다.

$\begin{bmatrix}  
1\\  
5\\  
5 \end{bmatrix}$라고 임의의 점을 두자.

$5b_{1}-2b_{2}+b_{3}$는 0이 되어야만 해가 존재하며,  $5b_{1}-2b_{2}+b_{3}$=0, $\epsilon C(A)$가 성립해야 하므로, 칼럼 벡터들의 조합이  $5b_{1}-2b_{2}+b_{3}$위에 점이어야 함

 

3. 임의의 점을 대입

$b= \begin{bmatrix}
1\\ 
5\\ 
5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 1& 3 &3  &2 &|1\\ 
 0& 0 &  3& 3&|3\\ 
 0& 0 & 0 &0&|0 
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
 1& 3 &0  &-1 &|-2\\ 
 0& 0 &  1& 1&|1\\ 
 0& 0 & 0 &0 &|0
\end{bmatrix}$

 

4. pivot variables, free variables로 나눈다.

$u=-3v+z, w= -z+1$이므로 아래와 같이 표현할 수 있다.

$\begin{bmatrix}
u\\ 
v\\ 
w\\ 
z
\end{bmatrix}
=v
\begin{bmatrix}
-3\\ 
1\\ 
0\\ 
0
\end{bmatrix}
+z
\begin{bmatrix}
1\\ 
0\\ 
-1\\ 
1
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
-2\\ 
0\\ 
1\\ 
0
\end{bmatrix}$

마지막에 상수로만 이뤄진 벡터는 $X_p$라고 표시하며, 상수 벡터를 제외한 두 벡터는 $X_n$이라 칭한다.

즉, $AX= A(X_n+X_p) = AX_n + AX_p =b$

 

 

linear independence(선형 독립)

* linear independent: $c_{1}v_{1}+...c_{n}v_{n}= 0$일때 오직 C가 모두 0이어야 방정식을 만족할 수 있는 경우를 선형 독립이라 한다.

이는 가우스 소거법을 이용해 풀 수 있으며, 가우스 소거법 후 pivot의 개수가 선형 독립의 개수가 된다.

 

Rank of A

= 독립적인 column vector의 개수

= 독립적인 row vector의 개수

= 가우스 소거법 후 pivot의 개수

= Dim of C(A): A column space의 차원

 

 

- Spanning: 벡터들로 모든 linear combination을 구하면 vector space를 이룬다.

이를 벡터들로 span 해서 vector space를 만든다고 한다.

 

- Basis(기저): 벡터 공간을 span 하는 linearly independent 한 최소의 벡터

Basis개수 = Dim of C(A)

n차원에 대한 Basis는 unique하지 않고 무수히 많다.

 

 

 

이상화 교수님의 수업을 참고하여 만들었습니다.

http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757