[선형대수] 영벡터공간과 해집합

whole space & span

Ax= b, $A_{nxn}$에서 A의 역행렬이 존재한 다는 뜻은 항상 b벡터가 C(A)에 포함된다는 것이다.

즉, 역행렬이 존재하면 n차원인 벡터를 모두 표현할 수 있고, 이를 whole space라고 한다.

 

예를 들어, $\begin{bmatrix}
1 & -2& 1\\
2& 1 & 1\\
0& 0 &0
\end{bmatrix}$ 메트릭스는 3차원이지만, 어떤 linear combination을 해도 z좌표는 0이므로 2차원까지만 표현이 가능하다.

 

whole space를 linear combination으로 대표하는 것을 span이라고 한다.

 

 

Null space of A (N(A))

Null space는 Ax=0을 만족하는 x의 집합이다. Null space도 space이기 때문에 선형성을 만족해야 한다.

 

 

Solving Ax=0 & Ax=b

역행렬이 존재하지 않을 때, x를 어떻게 구해야 할까? 바로 가우스 소거법으로 구하면 된다.

AX=0 => UX=0 => RX=0이므로, 가우스 소거법으로 R을 만들어야 한다. 일단 R을 만드는 법을 알아보자

 

1. R(Row Reduced echelon form matrix)

예를 들어, $\begin{bmatrix}
1 & 3& 3 &2\\
2& 6 & 9 &7\\
-1& -3 &3 &4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
U\\
V\\
W\\
Z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}$ 을 다음과 같이 전개할 수 있다.

 

$\begin{bmatrix}
1 & 3& 3 &2\\
2& 6 & 9 &7\\
-1& -3 &3 &4
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 3& 3 &2\\
0& 0& 3 &3\\
0& 0 &0 &0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 3& 3 &2\\
0& 0& 1 &1\\
0& 0 &0 &0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 3& 0 &-1\\
0& 0& 1 &1\\
0& 0 &0 &0
\end{bmatrix}$

 

가우스 소거법을 사용해서 Pivot이 1이 되게 만든 다음, Pivot이 있는 열을 모두 0으로 만들어 줘야 한다. 그 결과 마지막에 R이라고 부르는 Row Reduced echelon form의 매트릭스가 만들어진다.

 

2. R을 이용해 x 찾기

$\begin{bmatrix}
1 & 3& 0 &-1\\
0& 0& 1 &1\\
0& 0 &0 &0
\end{bmatrix}$ 이 행렬에서 Pivot은 1,3 요소인 U, W이다.

즉, Pivot variables와 Free variables(피봇이 아닌)로 나누면 각각 U, W와 V, Z로 구성된다. pivot variables와 free variables로 표현하면 다음과 같다.

$\begin{cases}
& u+3v-z=0 \\
& w+z=0
\end{cases}$ 이기 때문에, $\begin{cases}
& u= -3v+z \\
& w=-z
\end{cases}$가 된다.

이를 행렬로 표현하면, $\begin{bmatrix} u\\v\\w\\z\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} -3v+z\\v\\-z\\z\end{bmatrix}$ = v$\begin{bmatrix} -3\\1\\0\\0\end{bmatrix}$ + z$\begin{bmatrix} 1\\0\\-1\\1\end{bmatrix}$로 표현할 수 있다.

여기서 핵심은, x값을 free variables를 상수로 표현할 있는 것이다. free variables뒤에 따라오는 벡터들을 special solutions이라고 한다.

 

Dimension of Vector space

Dim(N(A))= special solutions의 개수이다.(subspace를 구성하는 independent 한 벡터들의 개수) 즉, 위의 예시에서는 실제로 4차원 공간이지만, Dim(N(A))= 2이다. 그렇다면 나머지 2차원은 어디로 간 걸까? 나머지 2차원은 Row space에 있다. 이 내용은 다음 게시글에서 다루겠다.

 

 

출처: https://www.youtube.com/watch?v=dq48fy5Qub8&list=PLSN_PltQeOyjDGSghAf92VhdMBeaLZWR3&index=6