[선형대수] 벡터공간과 열벡터

이 전까지 배웠던 내용들은 '미지수의 수= 방정식의 수'인 경우였다. 

이제부터는 '미지수의 수> 방정식의 수'에 대해서 살펴보자.

 

- 기존 '미지수의 수= 방정식의 수'

가우스 소거법이나 역행렬로 x값을 구하면 unique한 값이 나오거나 해가 없었다.

 

- '미지수의 수> 방정식의 수'

하지만, 이 경우에는 무한한 답이 존재하거나, 해가 없다.

 

예를 들어, $\begin{cases}  & 2u+v+w= 5 \\   & 4u-6v = -2  \end{cases}$라는 방정식이 존재한다면, 3차원 공간에서 2개의 식만 존재할 것이다.

결국 해는 2개의 식이 겹치는 선인 무한한 점(해)가 생긴다.

 

 

Vector space

vector space: 기저 벡터로 생성 가능한 공간이며 원점을 지난다.

space: 덧셈, 스칼라 곱셈에 대해 닫혀있는 집합이다. 즉, 선형성을 만족해야한다. 선형성을 만족하기 위해서는 space가 무조건 원점을 가져야한다.

선형성에 대한 설명은 이전 게시글을 참고하면 된다.

https://ekdud7667.tistory.com/17

[선형대수] 선형성 정의 및 1차 연립방정식의 의미

* 특징

- $X+Y = Y+X$

- $X+(Y+Z) =(X+Y)+Z$

- $X+0(영벡터) = 0+X =X$

- $X+(-X)= (-X)+X= 0$일 때 -X(역원)이 unique하게 존재한다.

- -1*X=X

- C(X+Y) =CX + CY

- $(C_1+C_2)X = C_{1}X + C_{2}X$

 

 

Subspace

vector space에 대한 일종의 부분집합이다. vector space에 일부인 선, 면을 생각하면 되겠다.

또한, vector space처럼 선형성을 가져야 한다. 즉, 원점을 포함해야 함

예를 들어, $2x$라는 벡터가 있을 때 이는 2차원 vector space의 subspace이다. $2x$의 선(해들)이 모든 2차원을 대변할 수 없기 때문이다.

반대로 $2x+3$은 원점을 지나지 않기 때문에 vector space, subspace에 들어갈 수 없다.

 

예시

아래의 파란면이 $v1, v2$를 지나가는 subspace이고, vector space안에 들어있다.

https://ratsgo.github.io/linear%20algebra/2017/05/20/spaces/

직선에서도 subspace를 표현할 수 있다. 2차원 공간의 vector space에서의 부분공간은 파란 직선이 될것이다.

 

https://ratsgo.github.io/linear%20algebra/2017/05/20/spaces/

column space 

A행렬의 모든 칼럼을 가지고 linear combination했을 때 나올 수 있는 것들의 모든집합이고, C(A)라고 표현한다.

column space를 정의하기 위해선 선형결합을 사용해 정의한다.

 

$Ax=b$를 예로 들어보자.
$Ax = \begin{bmatrix} \\ a_1 \quad a_2 \quad ... \quad a_n \\ \quad\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n\end{bmatrix} = \sum_{i = 1}^n c_ia_i = b$가 성립한다.

만약 이 연립방정식의 해가 존재한다면, b는 A에 대한 column space로 다음과 같이 표현할 수 있다. 
$b= x_1a_1 + x_2a_2 + ... x_na_n$
만약 b가 column space에 속하지 않으면(b가 C(A)에 속하지 않는다) 해가 존재하지 않는다. (b가 A 열벡터의 조합으로 만들 수 없는 벡터)

 

예시)

$A=\begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -4 & 6 & -2 \\ -3 & 7 & 6 \end{bmatrix},\quad b=\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ -4 \end{bmatrix} %]]$

열공간이 위와 같은 경우, 세번째 벡터는 종속이 된다. (5* 첫번째 열벡터 + 3*두번쨰 열벡터 = 세번째 열벡터)

따라서, 열공간은 2차 평면을 가지게 되고, $Ax=b$가 해를 가지려면 $b$가 $A$의 열공간 안에 존재해야 한다.

 

열벡터를 계산하기 쉽도록, 다르게 표현할 수 있다.

만약, $b_1, b_2 \in \mathbb{C}(A)$라면 $A(X_{1}+X_{2}) =b$ 즉, b벡터의 집합이 A 행렬의 선형결합으로 표현할 수 있다.

예를 들어, A행렬을 다음과 같이 쉽게 표현할 수 있다.

 

$Ax= b,b = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4\end{bmatrix} b$를 간단하게 표현해보자.

$b= 2\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} + 4 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$

 

이렇게 표현하면 해를 더 쉽게 찾을 수 있다.

 

 

 

교수님의 선형대수 강의를 기반으로 만든 게시글입니다.

출처: http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757