수학/선형대수 (12) 썸네일형 리스트형 [선형대수] 1차 연립방정식 풀이와 직교벡터 구하기 orthonormal basis vetor인 경우 $v_1, v_2,... ,v_n$이 있다. C 구하는 법 $X= \Sigma c_iv_i$가 수직이 아닌 경우, V의 역함수로 c를 구할 수 있다. 만약 수직이라면 다음과 같은 공식을 사용할 수 있다. $c_i= v_i^Tx = \frac{v_i^Tx}{v_i^Tv_i=1}$ gram-schmidt orthognalization independent vectors들로orthonormal한 basis vector를 구하는 공식 (orthonormal basis vector이면 계산하기 쉬움) https://www.slideshare.net/ahra-cho/12-gramschmidt-orthogonalization?next_slideshow=1 선형대수 1.. [선형대수] 벡터투영과 최소제곱법 Projection(투영)으로 가장 가까운 거리를 찾아낼 수 있다. 선형대수를 미지수와 방정식 수로 나타내면 크게 3가지로 나눌 수 있다. 1. 미지수의 수= 방정식의 수: unique 한 값을 가짐 2. 미지수의 수 방정식의 수: 해가 없음 1,2번의 경우 가우스 조던법을 사용해서 문제를 풀 수 있다. 이번에 배울 3번의 경우는 '최소제곱법'으로 풀 수 있다. 이는 error를 가장 최소로 하는 space를 구한다는 뜻이며, 최소 거리를 구한다는 뜻이다. 식으로 표현하면 다음과 같다. 최소 제곱법 (Least square) $min||Ax-b||^2$ 내적과 cosine https://ekdud7667.tistor.. [선형대수] 벡터의 직교성과 직선투영 직교성(orthogonality) 벡터가 수직이라는 뜻은 linearly independent basis하다는 뜻이며, linear combination의 계산이 쉽다. - $x^t y=0$ 증명) 아래와 같은 벡터가 있을 때 피타고라스의 정리로 증명할 수 있다. $x^T y=0$ 이면 $\theta= 90$ $x^T y 90$ $x^T y>0$ 이면 $\theta [선형대수] 선형변환과 행렬 Linear Transformation 행렬 연산은 벡터를 변환하는 것으로도 볼 수 있다. 벡터$x \in R^n$을 벡터$b \in R^m$으로 차원 변환시킨다고 할 수 있다. 또, 다음과 같은 변환도 있다. 1. 스칼라배 변환 $\begin{bmatrix} c &0 \\ 0 &c \end{bmatrix}$를 곱하면 c배로 변환한다. (c>0: 확대, c \frac{d}{dt}p(t) = 1-2t-3t^2$ 5. 다항식 적분(integration) 미분과 똑같이 표현하면 $x= \begin{bmatrix}a_0\\ a_1\\ ...\\ a_n\end{bmatrix}$, $y= \begin{bmatrix}0\\b_1\\ ...\\ b_{n+1}\end{bmatrix}$ 따라서 미분 변환은 $x \in R.. [선형대수] 벡터공간의 차원과 4가지 부벡터공간 부벡터공간 행렬에는 4가지 부벡터 공간(subspace)이 있다. - Column Space$(C(A))$ - Null Space$(N(A))$ - Row Space$(C(A^T))$ - Left Null Space$(N(A^T))$ subspace들은 서로 dimension을 보완한다. 1. Column space - Left null space: 행 dimension 보완 2. Row space - Null Space: 열 dimension을 보완 예를 들어, 3*2행렬이 있다고 생각해보자. 1번 같은 경우 Column space가 1차원 + Left null space 2차원 => 3차원으로 서로 보완한다. 2번도 동일하게 1 + 1차원 => 2차원으로 서로 보완한다. 따라서 다음과 같이 정의할 수.. [선형대수] 벡터의 선형독립과 기저벡터 AX=b에서, null space를 구하는 법 1. [A|b] 행렬에서 가우스 소거법을 이용해 [R|d]로 변환한다. $\begin{bmatrix} 1& 3 &3 &2 \\ 2& 6 & 9& 7\\ -1& -3 & 3 &4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u\\ v\\ w\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ \end{bmatrix}$ => $\begin{bmatrix} 1& 3 &3 &2 \\ 0& 0 & 3& 3\\ 0& 0 & 0 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u\\ v\\ w\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_1\\ b_2-2b_1\\ b_3-2b_2+5b_1.. [선형대수] 영벡터공간과 해집합 whole space & span Ax= b, $A_{nxn}$에서 A의 역행렬이 존재한 다는 뜻은 항상 b벡터가 C(A)에 포함된다는 것이다. 즉, 역행렬이 존재하면 n차원인 벡터를 모두 표현할 수 있고, 이를 whole space라고 한다. 예를 들어, $\begin{bmatrix} 1 & -2& 1\\ 2& 1 & 1\\ 0& 0 &0 \end{bmatrix}$ 메트릭스는 3차원이지만, 어떤 linear combination을 해도 z좌표는 0이므로 2차원까지만 표현이 가능하다. whole space를 linear combination으로 대표하는 것을 span이라고 한다. Null space of A (N(A)) Null space는 Ax=0을 만족하는 x의 집합이다. Null space도 spa.. [선형대수] 벡터공간과 열벡터 이 전까지 배웠던 내용들은 '미지수의 수= 방정식의 수'인 경우였다. 이제부터는 '미지수의 수> 방정식의 수'에 대해서 살펴보자. - 기존 '미지수의 수= 방정식의 수' 가우스 소거법이나 역행렬로 x값을 구하면 unique한 값이 나오거나 해가 없었다. - '미지수의 수> 방정식의 수' 하지만, 이 경우에는 무한한 답이 존재하거나, 해가 없다. 예를 들어, $\begin{cases} & 2u+v+w= 5 \\ & 4u-6v = -2 \end{cases}$라는 방정식이 존재한다면, 3차원 공간에서 2개의 식만 존재할 것이다. 결국 해는 2개의 식이 겹치는 선인 무한한 점(해)가 생긴다. Vector space vector space: 기저 벡터로 생성 가능한 공간이며 원점을 지난다. space: 덧셈, 스.. 이전 1 2 다음
