[선형대수] LU분할

가우스 소거법

가우스 소거법 과정을 통해 행렬을 LU로 분해할 수 있는데, 분해하는 과정을 다루도록 하겠다.

 

이전에 게시했던 수식을 예로 들어 설명하겠다.

 

우선, 위의 식을 가우스 소거법을 적용하면 아래와 같다.(자세한 방법은 이전 게시글에..)

https://www.slideshare.net/ahra-cho?utm_campaign=profiletracking&utm_medium=sssite&utm_source=ssslideview

$E_21$은 1번식을 이용해 2 번식을 바꾸는 행렬로 이해하면 된다. 즉, $E_21$행렬로 (2,1) 요소를 0으로 만든다.

 

$E_{32}E_{31}E{21}A=U$ 즉, A 행렬에 2행을 변화시키고, 3행을 변화시키면 U행렬이 나오게 된다.

A를 알고 싶다면 역행렬을 곱하면 된다.

 

L Matrix

그렇다면 E역행렬을 모두 곱한 행렬은 어떤 모양일까? $E_{21}$행렬의 $l_{21}$의 요소에 부호만 반대로 바꿔주면 된다.

그 이유는 $y=x+3$. 즉, 3을 더해줬을 때, 원래의 y를 알기 위해선 3을 빼줘야 하기 때문이다.

U와 반대 모양으로, 아래쪽으로 삼각형을 띄고 있다. 따라서 이 메트릭스를 Lower triangular matrix라고 칭하고, L이라고 

표시하겠다.

 

결론적으로, A를 LU로 분해할 수 있다.

 

위의 행렬을 예시로 들면 $A= \begin{bmatrix}
1 & 0 &0 \\ 
 2&  1&0 \\ 
 -1&-1  &1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2 & 1 &1 \\ 
 0&  -8&-2 \\ 
 0&0  &1 
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
2 & 1 &1 \\ 
 4&  -6&0 \\ 
 -2&7  &2 
\end{bmatrix}$가 되고, 원래의 A를 알 수 있다.

 

 

A= LU = LDU로도 표현할 수 있다. D는 대각 행렬로 이뤄져있다. 이렇게 대각행렬로 한번 더 분해하면 determentet를 구할 때 유리하다는 등의 장점이 있다.

 

Row Exchange(pivoting)

가우스 소거법 시 pivot자리가 0이 되는 경우 pivoting을 한다고 했는데, 이를 행렬 P로 표현할 수 있다.

 

이렇게 행렬 P를 붙여서 1행과 2열의 위치를 바꾸는 Pivoting을 할 수 있다.

 

결론적으로, pivoting시 PA= LC가 성립한다.

여기서 $P^-1= P^T$이므로  A=$P^T$LU가 성립한다.

 

 

 

 

 

 

 

교수님의 선형대수 강의를 기반으로 만든 게시글입니다.

출처: http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757

https://www.slideshare.net/ahra-cho/01-1-108458741