[선형대수] 선형성 정의 및 1차 연립방정식의 의미

이상화 교수님의 선형대수 강의를 기반으로 만든 게시글입니다.

Linearity(선형성)

Linearity의 조건

1. superposition(중첩의 원리): $f(x_1+x_2)= f(x_1) + f(x_{2})$

2. homogeneity(동질성): $f(ax)= af(x)$

위의 조건을 합치면 아래와 같다.

$f(a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2})= a_{1}f(x_1)+ a_{2}f(x_2)$

예를 들어 y= mx+n이라는 식이 있다고 가정하자. 이 식은 linearity하지 않다. 위의 조건을 만족하지 않기 때문이다.

$m(a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2}) +n <> a_{1}(mx_1+n) +a_{2}(mx_2+n)$

결론적으로, 원점을 지나는 평면들에 있는 선 혹은 원점을 지나는 선이 linear하다고 볼 수 있다.

* 미분, 적분 연산은 linear함

선형대수는 기본적으로 선형성을 지닌 방정식이나 함수에 대해 다룬다.

나중에 배우겠지만, 만약 원점을 지나지 않는 벡터가 있다면 이 벡터를 평행이동해서 원점을 지나도록 한다.

그 후, 계산을 하고 다시 평행이동을 시켜 원래의 위치로 이동시킨다.

$3x-y=-2$

$x+y=2$라는 방정식이 있을 때 그래프로 표현하면 다음과 같다.

이 방정식들은 원점을 지나지 않으므로 선형성을 만족하지 못한다.

이 방정식을 선형성을 만족하는 벡터로 변환해 보겠다.

$x\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix}$

이 말은 [-1,1] [3,1] 벡터들을 선형결합해 [-2,2]로 만든다는 것이다.

예를 들어, $v, w$의 벡터가 있다고 가정해보자.

$v=[a_1, b_1, c_1], w=[a_2, b_2, c_2]$라는 벡터가 있을 때, $v, w$에 실수값을 곱해서 더하는 조합을 선형 결합이라고 한다.

만약, 실수값을 $\alpha,\beta$라고 가정한다면 아래와 같은 선형결합이 만들어진다.